مناظرة 2025 رياضيات مع الاصلاح المفصل

المسألة 1: (6 نقاط)

يمثّل الجدول التّالي مبيعات ومداخيل بائع أزهار في أحد الأيّام:

• الحريف الأوّل: باقة من الأزهار البيضاء وباقة من الأزهار الحمراء | المداخيل 60 د
• الحريف الثّاني: باقة من الأزهار البيضاء وباقة من الأزهار الصّفراء | المداخيل: ثلث المداخيل الجمليّة في ذلك اليوم
• الحريف الثّالث: باقة من الأزهار الحمراء وباقة من الأزهار الصّفراء | المداخيل 84 د

إذا علمت أنّ ثمن بيع الباقة الواحدة من كلّ لون لا يتغيّر من حريف إلى آخر.

1. أثبتُ أنّ المبلغ الذي دفعه الحريف الثّاني يساوي 72 د.

تتكوّن كلّ باقة من 12 زهرة متساوية الثّمن.

2. أحسبُ بالدّينار ثمن بيع الزّهرة البيضاء الواحدة.

المسألة 2: (6 نقاط)

عُلّق بواجهة أحد نوادي الرّياضات البحريّة مجسّم نحاسيّ لمركب شراعيّ يمثّله الرّسم التّالي:

(الرسم يحتوي على الجزء ① في شكل شبه منحرف أ ب ج د، الجزءان ② و ③ في شكل مثلث، وأنبوب [و ف] يربط الأجزاء الثلاثة كتلته 1,56 كغ).

يتركّب المجسّم النّحاسيّ من أربعة أجزاء كتلتها الجمليّة 12 كغ:

• الجزء ① في شكل شبه منحرف أ ب ج د،
• الجزءان ② و ③ كلّ منهما في شكل مثلث،
• أنبوب تمثّله قطعة المستقيم [و ف] يربط الأجزاء الثّلاثة ببعضها، كتلته 1,56 كغ.

تتكوّن الأجزاء ① و ② و ③ من نفس اللّوحات النّحاسيّة حيث كتلة $100\text{ صم}^2$ منها تساوي 180 غ.

1. أثبتُ أنّ قيس مساحة الجزء ① يساوي $4000\text{ صم}^2$ علما أنّ قيس مساحة الجزءين ② و ③ معاً يمثّل 45% من قيس مساحة الجزء ①.

اقترح أحد الأعضاء نقش شعار للنادي على الجزء ① في شكل مربّع قيس طول ضلعه 30 صم.

2. هل يمكنه ذلك علما أنّ قيس طول القاعدة الكبرى [أ ب] يساوي 140 صم وهو يمثّل $\frac{7}{3}$ قيس طول القاعدة الصّغرى [د ج]؟ علّل جوابك.

المسألة 3: (8 نقاط)

تقوم حافلة بسفرات منتظمة انطلاقاً من المحطّة "أ" في اتّجاه المحطّة "ج" مروراً بالمحطّة "ب" ثمّ تعود إلى المحطّة "أ" كما هو مبيّن بالأسهم في الرّسم التّالي:

حيث:

• المدّة التي تستغرقها الحافلة في السّير بين "أ" و "ب" تساوي 8 دق،
• المدّة التي تستغرقها الحافلة في السّير بين "ب" و "ج" تساوي 12 دق،
• معدّل سرعة الحافلة بين "ج" و "أ" يساوي 48 كم/س وقيس المسافة الفاصلة بينهما ج أ = 8 كم،
• تتوقّف الحافلة عن السّير في كلّ محطّة مدّة 5 دق.

1. أثبتُ أنّ الحافلة تصل إلى المحطّة "أ" في نهاية السّفرة الأولى بعد 40 دق من انطلاقها.
2. أحدّدُ ساعة وصول الحافلة إلى المحطّة "أ" في نهاية السّفرة الرّابعة إذا انطلقت في السفرة الأولى من المحطّة "أ" على السّاعة 6 صباحاً.

في أحد الأيّام وبسبب اكتظاظ مروريّ بين المحطّتين "ج" و "أ" في السّفرة الرّابعة، عدّل السّائق سرعة الحافلة فوصل إلى المحطّة "أ" على السّاعة 9 و5 دق صباحاً.

3. أحسبُ معدّل سرعة الحافلة بين المحطّتين "ج" و "أ" أثناء الاكتظاظ.

 

حل المسألة 1 (6 نقاط)

1)       إثبات أنّ المبلغ الذي دفعه الحريف الثّاني يساوي 72 د:

·         من خلال الجدول، نلاحظ أن مجموع مشتريات الحرفاء الثلاثة معاً يحتوي على باقتين من كل لون (باقتين بيضاء، باقتين حمراء، باقتين صفراء)

·         هذا يعني أن مجموع المداخيل الجمليّة يمثّل ضِعْف ثمن شراء (باقة بيضاء + باقة حمراء + باقة صفراء)

·         مجموع ما دفعه الحريف الأول والحريف الثالث معاً:

60 د + 84 د = 144 د

·         بما أن الحريف الثاني دفع ثلث  المداخيل الجملية، فإن الحريفين الأول والثالث دفعا معاً الكسر المتبقي وهو:

2/3 = 1 – 1/3

·         إذن، المداخيل الجمليّة للبائع في ذلك اليوم هي:

= 216

·         وبالتالي، المبلغ الذي دفعه الحريف الثّاني هو:

=  72  د (وهو المطلوب إثباته (

2) حساب ثمن بيع الزّهرة البيضاء الواحدة بالدّينار:

·         أولاً، نبحث عن ثمن الثلاث باقات المختلفة معاً (نصف المداخيل الجملية(

·        

·         ثمن الباقة الصّفراء الواحدة (نطرح ثمن باقة البيضاء والحمراء الخاصة بالحريف الأول(

108 د - 60 د = 48 د

·         ثمن الباقة البيضاء الواحدة (نطرح ثمن الباقة الصفراء من مجموع ما دفعه الحريف الثاني(

72 د - 48 د = 24 د

·         بما أن الباقة الواحدة تتكوّن من 12 زهرة متساوية الثمن، فإن ثمن الزّهرة البيضاء الواحدة هو:

 

حل المسألة 2 (6 نقاط(

¹⁾         إثبات أنّ قيس مساحة الجزء ① يساوي 4000 صم²

·         أولاً، نحسب الكتلة الصّافية للألواح النّحاسيّة (الأجزاء ① و ② و ③) بطرح كتلة الأنبوب من الكتلة الجمليّة:

12 كغ - 1,56 كغ = 10,44 كغ (ونحولها إلى الغرام 10440=  غ)

·         بما أن كل 180 غ تقابل مساحة 100صم²، فإن المساحة الجمليّة للأجزاء الثلاثة هي:

·    

·         بما أن مساحة الجزءين ② و ③ معاً يمثّل 45% من مساحة الجزء ①، فإن المساحة الجملية تمثل 145% من مساحة الجزء ① (أي 1,45 كمعامل)

قيس مساحة الجزء1  :    =  4000  صم²(وهو المطلوب إثباته)

2) هل يمكن نقش شعار للنادي في شكل مربّع ضلع طوله 30 صم على الجزء ①؟

·         لمعرفة ذلك، نحتاج لحساب أبعاد شبه المنحرف ① (خاصة الارتفاع والقاعدة الصغرى)

·         قيس طول القاعدة الكبرى [أ ب] = 140 صم.

·         القاعدة الكبرى تمثّل    القاعدة الصّغرى [د ج]، إذن قيس طول القاعدة الصّغرى هو:

·         = 60صم

·         مساحة شبه المنحرف تساوي 

·          

·     بتطبيق الأعداد :    = 4000 صم²

·         الارتفاع    = 40 صم²

·         التعليل والنتيجة: بما أن ارتفاع شبه المنحرف هو 40 صم، وطول قاعدته الصغرى هو 60 صم، وطول ضلع الشعار المربّع المراد نقشه هو 30 صم فقط (وهو أصغر من الارتفاع ومن القاعدة الصغرى)، فإنه نعم، يمكن نقش هذا الشعار داخل الجزء ①.

حل المسألة 3 (8 نقاط)

1) إثبات أنّ الحافلة تصل إلى المحطّة "أ" في نهاية السّفرة الأولى بعد 40 دق من انطلاقها:

·         المدّة المستغرقة في السّير بين "أ" و "ب" = 8 دق

·         المدّة المستغرقة في السّير بين "ب" و "ج" = 12 دق

·         المدّة المستغرقة في السّير بين "ج" و "أ" ()

·         8 س :   48 كم/ س  =     نحولها الى الدق فنتحصل على 10 دقائق بضرب سدس في 60

·         مجموع أوقات التوقف (تتوقف 5 دقائق في المحطة "ب" و5 دقائق في المحطة "ج"):

5 دق + 5 دق = 10 دق

·         المدّة الجمليّة للسّفرة الأولى هي مجموع أوقات السير والتوقف:

8 دق + 12 دق + 10 دق + 10 دق = 40 دق (وهو المطلوب إثباته)

2)       تحديد ساعة وصول الحافلة إلى المحطّة "أ" في نهاية السّفرة الرّابعة:

·         قبل أن تنطلق الحافلة في سفرة جديدة، تتوقف في المحطة "أ" مدة 5 دقائق.

·         إذن، الدورة الكاملة (السفرة + التوقف في المحطة أ) تستغرق: 40 دق + 5 دق = 45 دق.

·         لإنهاء 4 سفرات متتالية، تقوم الحافلة بـ 3 دورات كاملة بالتمام والكمال، وتنهي السفرة الرابعة فور وصولها للمحطة "أ" (بدون احتساب التوقف الذي يليها)

الزمن الجملي = (3 دورات  45 دق) + السفرة الرابعة (40 دق)

الزمن الجملي = 135 دق + 40 دق = 175 دق

·         نحول 175 دقيقة إلى ساعات ودقائق: 175 دق = 2 س و 55 دق

·         ساعة الوصول = ساعة الانطلاق (6:00 صباحاً) + 2 س و 55 دق = 8:55 صباحاً (الساعة 8 و 55 دقيقة صباحاً)

3)       حساب معدّل سرعة الحافلة بين المحطّتين "ج" و "أ" أثناء الاكتظاظ:

·         الحافلة وصلت الساعة 9 و 5 دقائق صباحاً بدلاً من الوقت العادي المحدّد بـ 8 و 55 دقيقة صباحاً.

·         الفارق الزمني (مدة التأخير بسبب الاكتظاظ) هو:

9 س و 05 دق - 8 س و 55 دق = 10 دق

·         المدة العادية للسير بين "ج" و "أ" كانت 10 دقائق، وبإضافة 10 دقائق تأخير تصبح المدة الجديدة:

10 دق + 10 دق = 20 دق

·         نحول المدة الجديدة إلى ساعات    =   

·         قيس المسافة بين "ج" و "أ" ثابت وهو 8 كم.

·         إذن، معدل السرعة الجديد أثناء الاكتظاظ هو:

المسافة  / الزمن الجديد

8 ×3 = 24 كم/س