درس بناء الزوايا 15 و 30 و 45 و 60 و75 و 90 و120 درجة

📐 بناء الزوايا بالمدور والمسطرة

درس كامل للسنة السادسة : الزوايا 15° ، 30° ، 45° ، 60° ، 75° ، 90° ، 120°

🎯 ماذا سأتعلم ؟

• أن أبني بالمدور والمسطرة الزوايا 60° و 120° و 90°.
• أن أبني منصف زاوية، فأحصل على 30° و 45° و 15°.
• أن أبني الزاوية 75° بدمج زاويتين سبق بناؤهما.
• أن أتحقق من قيس كل زاوية بالمنقلة.

💡 سرّ الدرس : لا نحتاج إلى المنقلة لبناء هذه الزوايا. نبني الزاوية 60° أولا، ثم نستعمل الضعف والنصف والجمع لنحصل على كل الزوايا الأخرى.

تذكير

الزاوية وقيسها

• الزاوية تتكون من نصفي مستقيمين لهما نفس الأصل، ونسمي الأصل رأس الزاوية.
• نقيس الزاوية بوحدة اسمها الدرجة (°) ونستعمل المنقلة.

نوع الزاوية	قيسها	من الزوايا التي سنبنيها
حادة	أصغر من 90°	15° ، 30° ، 45° ، 60° ، 75°
قائمة	90°	90°
منفرجة	بين 90° و 180°	120°

في الرسم التالي رسمنا كل الزوايا التي سنبنيها انطلاقا من نصف المستقيم نفسه :

الأدوات

الأدوات وقواعد العمل

• ✏️ قلم رصاص مبري جيدا لرسم خطوط رفيعة.
• 📏 مسطرة مستقيمة لرسم أنصاف المستقيمات.
• 🧭 مدور (بيكار) محكم الشدّ حتى لا تتغير الفتحة.
• 📐 منقلة للتحقق في النهاية.

قواعد ذهبية :

1. لا تغيّر فتحة المدور بين قوسين إذا طلب منك الدرس « نفس الفتحة ».
2. لا تمسح أقواس البناء : هي دليل على أن بناءك صحيح.
3. سمِّ كل نقطة بحرف عند رسمها، واكتب قيس الزاوية في النهاية.

خطة الدرس : ترتيب البناء

الزاوية	فكرة البناء
60°	مثلث متقايس الأضلاع
120°	60° + 60°
90°	عمودي على مستقيم في نقطة منه
30°	منصف الزاوية 60°
45°	منصف الزاوية 90°
15°	منصف الزاوية 30°
75°	60° + 30° ÷ 2 (منصف الزاوية بين 60° و 90°)

▶️ في كل بناء أدناه : اضغط « التالي » لترى المرحلة الجديدة بالبرتقالي وما سبقها بالأزرق، أو اضغط « كل المراحل » لرؤية الرسوم كلها.

البناء 1

بناء الزاوية 60° (زاوية حادة)

الفكرة : نرسم مثلثا متقايس الأضلاع، وكل زاوية فيه تساوي 60°.

1. ارسم بالمسطرة نصف المستقيم [OA) وسمِّ أصله O.
2. ضع رأس المدور على O وافتحه فتحة اختيارية، ثم ارسم قوسا يقطع [OA) في النقطة B.
3. دون تغيير فتحة المدور، ضع رأسه على B وارسم قوسا يقطع القوس الأول في النقطة C.
4. ارسم بالمسطرة نصف المستقيم [OC).
5. الزاوية AOC تساوي 60° لأن المثلث OBC متقايس الأضلاع : OB = OC = BC.

البناء 2

بناء الزاوية 120° (زاوية منفرجة)

الفكرة : 120° = 60° + 60°، فنبني زاويتين قيس كل منهما 60° إحداهما بجانب الأخرى.

1. ارسم نصف المستقيم [OA) وسمِّ أصله O.
2. ارسم قوسا مركزه O يقطع [OA) في B.
3. دون تغيير الفتحة، ارسم قوسا مركزه B يقطع القوس الأول في C (هنا AOC = 60°).
4. دون تغيير الفتحة، ارسم قوسا مركزه C يقطع القوس الأول في D.
5. ارسم بالمسطرة نصف المستقيم [OD).
6. الزاوية AOD = 60° + 60° = 120°.

البناء 3

بناء الزاوية 90° (زاوية قائمة)

الفكرة : نبني مستقيما عموديا على مستقيم معلوم في نقطة O منه.

1. ارسم بالمسطرة مستقيما (d) وعيّن عليه النقطة O، ثم عيّن A على (d) يمين O.
2. ضع رأس المدور على O وارسم قوسا يقطع (d) في نقطتين B و B′ (OB = OB′).
3. افتح المدور فتحة أكبر من OB، ثم ضع رأسه على B وارسم قوسا فوق المستقيم.
4. دون تغيير الفتحة، ضع رأسه على B′ وارسم قوسا يقطع القوس السابق في E.
5. ارسم بالمسطرة نصف المستقيم [OE).
6. [OE) عمودي على (d) في O : الزاوية AOE = 90° (زاوية قائمة).

💡 النقطتان E و O على نفس البعد من B و B′ : لذلك (OE) هو واسط القطعة [BB′]، وهو عمودي عليها.

البناء 4

بناء الزاوية 30° (زاوية حادة)

الفكرة : 30° = 60° ÷ 2، فنبني الزاوية 60° ثم نبني منصفها.

1. ارسم نصف المستقيم [OA) وسمِّ أصله O.
2. ارسم قوسا مركزه O يقطع [OA) في B.
3. دون تغيير الفتحة، ارسم قوسا مركزه B يقطع القوس الأول في C.
4. ارسم [OC) : الزاوية AOC = 60°.
5. لنبني منصف الزاوية AOC : ضع رأس المدور على B وافتحه فتحة أكبر من نصف BC، ثم ارسم قوسا داخل الزاوية.
6. دون تغيير الفتحة، ضع رأسه على C وارسم قوسا يقطع القوس السابق في D.
7. ارسم [OD) : الزاوية AOD = 60° ÷ 2 = 30°.

البناء 5

بناء الزاوية 45° (زاوية حادة)

الفكرة : 45° = 90° ÷ 2، فنبني الزاوية القائمة ثم نبني منصفها.

1. ارسم مستقيما (d) وعيّن عليه O ثم A يمين O.
2. ارسم قوسا مركزه O يقطع (d) في B و B′.
3. افتح المدور فتحة أكبر من OB وارسم قوسا مركزه B فوق المستقيم.
4. دون تغيير الفتحة، ارسم قوسا مركزه B′ يقطع القوس السابق في E.
5. ارسم [OE) : الزاوية AOE = 90°.
6. القوس الأول يقطع [OE) في C (OB = OC).
7. ضع رأس المدور على B وافتحه فتحة أكبر من نصف BC، ثم ارسم قوسا داخل الزاوية القائمة.
8. دون تغيير الفتحة، ضع رأسه على C وارسم قوسا يقطع القوس السابق في D.
9. ارسم [OD) : الزاوية AOD = 90° ÷ 2 = 45°.

البناء 6

بناء الزاوية 15° (زاوية حادة)

الفكرة : 15° = 30° ÷ 2، فنبني الزاوية 30° ثم نبني منصفها.

1. ارسم نصف المستقيم [OA) وسمِّ أصله O.
2. ارسم قوسا مركزه O يقطع [OA) في B.
3. دون تغيير الفتحة، ارسم قوسا مركزه B يقطع القوس الأول في C.
4. ارسم [OC) : الزاوية AOC = 60°.
5. ضع رأس المدور على B وافتحه فتحة أكبر من نصف BC ثم ارسم قوسا داخل الزاوية AOC.
6. دون تغيير الفتحة، ضع رأسه على C وارسم قوسا يقطع القوس السابق في D.
7. ارسم [OD) : الزاوية AOD = 30°.
8. القوس الأول يقطع [OD) في G.
9. ضع رأس المدور على B وافتحه فتحة أكبر من نصف BG ثم ارسم قوسا داخل الزاوية AOD.
10. دون تغيير الفتحة، ضع رأسه على G وارسم قوسا يقطع القوس السابق في F.
11. ارسم [OF) : الزاوية AOF = 30° ÷ 2 = 15°.

البناء 7

بناء الزاوية 75° (زاوية حادة)

الفكرة : نبني على نفس نصف المستقيم الزاوية 60° والزاوية 90°. الزاوية بينهما 30°، ومنصفها يعطينا 60° + 15° = 75°.

1. ارسم مستقيما (d) وعيّن عليه O ثم A يمين O.
2. ارسم قوسا مركزه O يقطع (d) في B و B′.
3. دون تغيير الفتحة، ارسم قوسا مركزه B يقطع القوس الأول في C.
4. ارسم [OC) : الزاوية AOC = 60°.
5. افتح المدور فتحة أكبر من OB وارسم قوسا مركزه B فوق المستقيم.
6. دون تغيير الفتحة، ارسم قوسا مركزه B′ يقطع القوس السابق في E.
7. ارسم [OE) : الزاوية AOE = 90°.
8. القوس الأول يقطع [OE) في D.
9. الزاوية COD = 90° − 60° = 30°. لنبني منصفها : ضع رأس المدور على C وافتحه فتحة أكبر من نصف CD، ثم ارسم قوسا داخل الزاوية COD.
10. دون تغيير الفتحة، ضع رأسه على D وارسم قوسا يقطع القوس السابق في F.
11. ارسم [OF) : الزاوية AOF = 60° + 30° ÷ 2 = 75°.

التحقق

كيف أتحقق بالمنقلة ؟

1. ضع مركز المنقلة على الرأس O.
2. اجعل الخط القاعدي للمنقلة منطبقا على نصف المستقيم [OA).
3. ابدأ القراءة من الصفر الموجود على [OA) (انتبه إلى السلم الصحيح).
4. اقرأ العدد الذي يمرّ به نصف المستقيم الثاني : هذا هو قيس الزاوية.

✅ إن لم يكن القيس مطابقا تماما فلا تقلق : أخطاء الرسم الصغيرة عادية (تقريبا ±1°). أعد المحاولة بقلم أرفع ومدور محكم الشد.

ملخص

ما يجب أن أتذكره

الزاوية	النوع	الطريقة	عدد المراحل
60°	حادة	مثلث متقايس الأضلاع	5
120°	منفرجة	60° + 60°	6
90°	قائمة	العمودي في نقطة من مستقيم	6
30°	حادة	منصف 60°	7
45°	حادة	منصف 90°	9
15°	حادة	منصف 30°	11
75°	حادة	منصف الزاوية بين 60° و 90°	11

• الزاوية 60° هي الأساس : مثلث متقايس الأضلاع.
• الضعف : 60° → 120°. النصف (المنصف) : 60° → 30° → 15° و 90° → 45°.
• لا أغيّر فتحة المدور حين أكرّر القوس بنفس الفتحة، ولا أمسح أقواس البناء.

تمارين

📝 التمارين

التمرين 1 : اختر الجواب الصحيح

التمرين 2 : أكمل بالعدد المناسب

التمرين 3 : أعمال تطبيقية (على الكراس)

1. ابنِ الزاوية 60° ثم تحقق منها بالمنقلة.

2. ابنِ الزاوية 120° ثم احسب 180° − 120° واكتب ما تستنتجه.

3. ابنِ زاوية قائمة AOE ثم ابنِ منصفها [OD) وقس AOD.

4. ابنِ الزاوية 30° ثم الزاوية 15° انطلاقا منها.

5. ابنِ الزاوية 75° وقسها بالمنقلة، ثم ابنِ 75° بطريقة أخرى : 90° − 15°.

6. ارسم مثلثا ABC فيه ∠A = 60° و ∠B = 45°. ما قيس ∠C ؟ (جواب : 75°)

🏆 تحدّ : ابنِ الزاوية 105° (إرشاد : 90° + 15°) ثم الزاوية 135° (إرشاد : 90° + 45°) ثم 150° (إرشاد : 120° + 30°).