مساحة القرص الدائري درس سنة سادسة

⭕ مساحة الدائرة (مساحة القرص)

درس مفصل : نكتشف القانون، نطبّقه، ثم نحلّ مسائل من الحياة — A = π × r × r

🎯 أهداف الدرس

• أن أفهم من أين يأتي قانون مساحة القرص.
• أن أحسب مساحة قرص معلوم شعاعه أو قطره.
• أن أجد الشعاع انطلاقا من المساحة.
• أن أحسب مساحة أشكال مركبة : نصف قرص، ربع قرص، إكليل، قطاع…
• أن أحلّ مسائل من الحياة اليومية.

📌 في هذا الدرس نأخذ π ≈ 3,14 ونكتب مساحاتنا بالوحدات المربعة (cm² ، m²).

تذكير

الدائرة والقرص

• الدائرة هي الخط المنحني المغلق، وكل نقطه على نفس البعد من النقطة O (المركز).
• القرص هو السطح الذي تحدّه الدائرة. هو الذي نحسب مساحته.
• الشعاع r : القطعة التي تصل المركز بنقطة من الدائرة.
• القطر d : القطعة التي تمر بالمركز وتصل نقطتين من الدائرة. d = 2 × r.
• محيط الدائرة P = 2 × π × r هو طول الدائرة.

الشعاع r	القطر d = 2 × r
3 cm	6 cm
5 cm	10 cm
8 cm	16 cm

⚠️ انتبه : المحيط يقاس بوحدة الطول (cm) أما المساحة فتقاس بوحدة مربعة (cm²).

اكتشاف

كيف نكتشف قانون مساحة القرص ؟ 🔍

نقسّم القرص إلى قطاعات صغيرة متساوية ثم نرتّبها بالتناوب (واحد إلى الأعلى وواحد إلى الأسفل). كلما كثرت القطاعات، أصبح الشكل الناتج أشبه بـ مستطيل.

عدد القطاعات : 8

ماذا نلاحظ ؟

1. عرض الشكل الجديد = نصف محيط الدائرة = (2 × π × r) ÷ 2 = π × r.
2. ارتفاعه = شعاع القرص = r.
3. مساحة المستطيل = العرض × الارتفاع = π × r × r.
4. القطع قد غيّرت مكانها فقط، فالمساحة لم تتغير. إذن مساحة القرص = π × r × r.

القانون

قانون مساحة القرص

مساحة القرص الذي شعاعه r هي :
A = π × r × r = π × r²

إذا أعطي القطر فنحسب الشعاع أولا : r = d ÷ 2.

خطوات الحساب

1. أعيّن الشعاع r (أقسم القطر على 2 إن لزم).
2. أحسب r × r.
3. أضرب النتيجة في 3,14.
4. أكتب الجواب مع الوحدة المربعة.

مثال 1 : من الشعاع

قرص شعاعه 5 cm. ما مساحته ؟

A = 3,14 × 5 × 5 = 3,14 × 25 = 78,5 cm²

مثال 2 : من القطر

قرص قطره 12 cm. ما مساحته ؟

الشعاع : r = 12 ÷ 2 = 6 cm

A = 3,14 × 6 × 6 = 3,14 × 36 = 113,04 cm²

مثال 3 : إيجاد الشعاع انطلاقا من المساحة

مساحة قرص 153,86 cm². ما شعاعه ؟

r × r = 153,86 ÷ 3,14 = 49

أي عدد ضربناه في نفسه يعطي 49 ؟ إنه 7. إذن r = 7 cm.

🔬 المختبر : اختر ما يُعطى لك ثم حرّك المؤشر.
أُعطي الشعاع rأُعطي القطر d

للتعمق

القرص والمربع الذي ضلعه r

القرص الذي شعاعه r مساحته π × r²، أي 3,14 مرة مساحة المربع الذي ضلعه r :

ماذا يحدث إذا ضاعفنا الشعاع ؟ 🤔

حرّك المؤشر لتغيير الشعاع r ثم قارن مساحة القرص الأول بمساحة القرص الذي شعاعه 2 × r :

r = 3 cm

💡 عندما يتضاعف الشعاع تصبح المساحة 4 أضعاف (لأن 2 × 2 = 4). وعندما يتضاعف 3 مرات تصبح المساحة 9 أضعاف.

أشكال مركبة

مساحات أشكال مركبة

نصف قرص

A = (π × r × r) ÷ 2

مثال : r = 10 cm ← 314 ÷ 2 = 157 cm²

ربع قرص

A = (π × r × r) ÷ 4

مثال : r = 4 cm ← 50,24 ÷ 4 = 12,56 cm²

الإكليل (بين دائرتين)

A = π × R² − π × r²

مثال : R = 8 , r = 5 ← 200,96 − 78,5 = 122,46 cm²

مربع وقرص بداخله

A = a × a − π × r × r

مثال : a = 10 , r = 5 ← 100 − 78,5 = 21,5 cm²

قطاع زاويّ

A = (α ÷ 360) × π × r × r

مثال : α = 90° ، r = 6 cm ← 113,04 ÷ 4 = 28,26 cm²

💡 القاعدة : نحسب مساحة القرص الكامل ثم نأخذ الجزء المطلوب (نصف، ربع…) أو نطرح مساحتين.

تطبيقات

تطبيقات من الحياة 🌍

1) البيتزا 🍕

بيتزا صغيرة قطرها 20 cm وأخرى كبيرة قطرها 40 cm. كم مرة مساحة الكبيرة أكبر من الصغيرة ؟

الصغيرة : r = 10 ← A = 3,14 × 100 = 314 cm²

الكبيرة : r = 20 ← A = 3,14 × 400 = 1256 cm²

1256 ÷ 314 = 4 : الكبيرة أكبر بـ 4 مرات رغم أن قطرها ضعف قطر الصغيرة فقط !

2) الحديقة الدائرية 🌳

حديقة دائرية شعاعها 7 m. نريد زرعها عشبا، وثمن المتر المربع 4 دنانير. كم نحتاج من المال ؟

A = 3,14 × 7 × 7 = 3,14 × 49 = 153,86 m²

153,86 × 4 = 615,44 دينارا.

3) حوض السباحة والممر 🏊

حوض دائري شعاعه 5 m يحيط به ممر عرضه 1 m. ما مساحة الممر ؟ وكم يكلّف تبليطه إذا كان ثمن المتر المربع 25 دينارا ؟

شعاع القرص الكبير : R = 5 + 1 = 6 m

A = 3,14 × 6 × 6 − 3,14 × 5 × 5 = 113,04 − 78,5 = 34,54 m²

34,54 × 25 = 863,5 دينارا.

4) مفرش المائدة المستديرة

مائدة مستديرة قطرها 1,2 m. ما مساحة سطحها ؟

r = 1,2 ÷ 2 = 0,6 m ← A = 3,14 × 0,6 × 0,6 = 3,14 × 0,36 = 1,1304 m²

5) القرص من ورقة مربعة

نقتطع أكبر قرص ممكن من ورقة مربعة ضلعها 20 cm. ما مساحة الجزء الضائع ؟

قطر القرص 20 cm ← r = 10 cm ← A = 314 cm²

مساحة الورقة 20 × 20 = 400 cm² ← الضائع : 400 − 314 = 86 cm².

أخطاء شائعة

انتبه ! أخطاء شائعة ⚠️

1. أنسى أن أقسم القطر على 2 ✗ 3,14 × 12 × 12 ✓ 3,14 × 6 × 6.
2. أضرب في r مرة واحدة فقط ✗ 3,14 × 5 (هذا نصف المحيط) ✓ 3,14 × 5 × 5.
3. أخلط بين المحيط والمساحة : 2 × π × r للمحيط و π × r × r للمساحة.
4. أنسى الوحدة المربعة : 78,5 cm² وليس 78,5 cm.
5. أضاعف الشعاع فأعتقد أن المساحة تتضاعف : بل تصبح 4 أضعاف.

تمارين

📝 التمارين (0 سؤال)

اكتب الجواب (يمكنك استعمال الفاصلة أو النقطة العشرية) ثم اضغط « تحقق ». خذ π ≈ 3,14.

النتيجة الكلية : 0 / 0

تحدّ

🏆 التحدّي النهائي

10 أسئلة عشوائية عن مساحة القرص. اختر الجواب الصحيح!

🧠 ما يجب أن أتذكره

• مساحة القرص : A = π × r × r مع π ≈ 3,14.
• القطر ضعف الشعاع : r = d ÷ 2.
• محيط الدائرة : P = 2 × π × r (وحدة طول). المساحة (وحدة مربعة cm²).
• إذا ضاعفنا الشعاع تصبح المساحة 4 أضعاف.
• نصف قرص : A ÷ 2 ، ربع قرص : A ÷ 4 ، إكليل : π R² − π r².
• لإيجاد الشعاع من المساحة : r × r = A ÷ 3,14 ثم أبحث عن العدد الذي ضربناه في نفسه.