التدرب على حل مسألة وضعيات ممتازة المجاميع والمفاريق

📘 الدرس: حل وضعيات مشكلة (المجاميع والفوارق)

🎯 الأهداف: أن أكون قادراً على:

• إيجاد عددين إذا علمت مجموعهما وفارقهما (أو ما يؤول إلى ذلك).
• إيجاد ثلاثة أعداد إذا علمت مجاميعها مثنى مثنى.
• توظيف التحويل بين الدينار والمليم، والأعداد العشرية، والنسبة المئوية.

1️⃣ تذكير: القواعد الأساسية

القاعدة 1 (المجموع والفارق): إذا علمنا مجموع عددين وفارقهما فإن:
العدد الأصغر = (المجموع − الفارق) ÷ 2
العدد الأكبر = العدد الأصغر + الفارق

القاعدة 2 (المساواة بالزيادة والنقصان): إذا صار عددان متساويين بعد إنقاص a من الأكبر وزيادة b على الأصغر، فإن الفارق = a + b.

القاعدة 3 (المضاعفات): إذا كان عدد يساوي k أضعاف عدد آخر، فنمثّل الأصغر بجزء واحد والأكبر بـ k أجزاء، فيكون المجموع k + 1 جزءاً، وقيمة الجزء = المجموع ÷ (k + 1).

القاعدة 4 (المجاميع الثنائية): إذا علمنا A + B و B + C و A + C فإن:
A + B + C = (مجموع المجاميع الثلاثة) ÷ 2
ثم نحصل على كل عدد بطرح المجموع الثنائي الذي لا يحتويه من المجموع الكلي. مثال: C = (A + B + C) − (A + B).

تحويلات مفيدة: 1 دينار = 1000 مليم  |  15 % من M = M × 15 ÷ 100

2️⃣ الجزء الأول: المجموع والفارق

الوضعية 1 مستوى بسيط

اشترى رامي كتاباً وقصةً بمبلغ إجمالي قدره 40 ديناراً. لو كان ثمن الكتاب أقل بـ 6 دنانير، وثمن القصة أكثر بـ 4 دنانير، لتساوى ثمنهما.
أوجد ثمن كل من الكتاب والقصة.

✅ الإصلاح الكامل للوضعية 1 (اضغط للعرض)

1) الفارق بين ثمن الكتاب وثمن القصة:
بما أن إنقاص 6 دنانير من الكتاب وزيادة 4 دنانير للقصة يجعلهما متساويين، فإن الكتاب يفوق القصة بـ: 6 + 4 = 10 دنانير.

القصة 15الفارق 10

2) ثمن القصة (الكمية الأصغر):
(المجموع − الفارق) ÷ 2 = (40 − 10) ÷ 2 = 30 ÷ 2 = 15 ديناراً.

3) ثمن الكتاب (الكمية الأكبر):
ثمن القصة + الفارق = 15 + 10 = 25 ديناراً.

التثبت: 25 + 15 = 40 ديناراً ✔ ، و 25 − 6 = 19 = 15 + 4 ✔

الجواب: ثمن الكتاب 25 د، وثمن القصة 15 د.

الوضعية 2 مستوى متوسط (إدخال المليم)

اشترت هدى محفظة حاسوب وموزعاً لاسلكياً بمبلغ إجمالي قدره 85600 مليم. لو كان سعر المحفظة أرخص بـ 15 ديناراً، وسعر الموزع أغلى بـ 9400 مليم، لتساوى سعرهما.
أحسب ثمن كل من المحفظة والموزع بالمليم ثم بالدينار.

✅ الإصلاح الكامل للوضعية 2 (اضغط للعرض)

1) تحويل الدنانير إلى مليمات:
15 ديناراً = 15000 مليم.

2) الفارق الافتراضي بين السعرين:
المحفظة تفوق الموزع بـ: 15000 + 9400 = 24400 مليم.

3) ثمن الموزع (العدد الأصغر):
(85600 − 24400) ÷ 2 = 61200 ÷ 2 = 30600 مليم (أي 30.600 د).

4) ثمن محفظة الحاسوب:
30600 + 24400 = 55000 مليم (أي 55.000 د).

التثبت: 55000 + 30600 = 85600 ✔ ، و 55000 − 15000 = 40000 = 30600 + 9400 ✔

الجواب: ثمن المحفظة 55000 مليم = 55.000 د، وثمن الموزع 30600 مليم = 30.600 د.

الوضعية 3 مستوى متقدم (مركب)

اشترى تاجر جهاز تلفاز ومستقبل قنوات بمبلغ إجمالي قدره 680 ديناراً. لو انخفض سعر التلفاز بمقدار 80 ديناراً، لكان سعره مساوياً لثلاثة أضعاف سعر مستقبل القنوات.
أحسب ثمن كل جهاز بشكل مستقل.

✅ الإصلاح الكامل للوضعية 3 (اضغط للعرض)

1) المجموع الافتراضي بعد تخفيض سعر التلفاز:
680 − 80 = 600 دينار.

2) عدد الأجزاء:
التلفاز يصبح 3 أضعاف المستقبل، إذن: 3 أجزاء (تلفاز) + 1 جزء (مستقبل) = 4 أجزاء.

المستقبلالتلفاز بعد التخفيض (3 أجزاء)

3) ثمن مستقبل القنوات (قيمة الجزء الواحد):
600 ÷ 4 = 150 ديناراً.

4) ثمن التلفاز الحقيقي:
(150 × 3) + 80 = 450 + 80 = 530 ديناراً.

التثبت: 530 + 150 = 680 ✔ ، و 530 − 80 = 450 = 3 × 150 ✔

الجواب: ثمن التلفاز 530 د، وثمن مستقبل القنوات 150 د.

3️⃣ الجزء الثاني: المجاميع الثنائية

الوضعية 4 مستوى بسيط

تقاسم ثلاثة إخوة (أحمد، سامي، وزياد) مبلغاً من المال. فكان مجموع نصيب أحمد وسامي 90 ديناراً، ومجموع نصيب سامي وزياد 110 دنانير، ومجموع نصيب أحمد وزياد 100 دينار.
ما هو نصيب كل واحد منهم؟

✅ الإصلاح الكامل للوضعية 4 (اضغط للعرض)

1) ضعف المجموع الإجمالي للإخوة الثلاثة:
90 + 110 + 100 = 300 دينار (لأن كل أخ حُسب مرتين).

2) المجموع الحقيقي (أحمد + سامي + زياد):
300 ÷ 2 = 150 ديناراً.

3) نصيب زياد: 150 − 90 = 60 ديناراً.

4) نصيب أحمد: 150 − 110 = 40 ديناراً.

5) نصيب سامي: 150 − 100 = 50 ديناراً.

التثبت: 60 + 40 + 50 = 150 ✔ ، 40 + 50 = 90 ✔ ، 50 + 60 = 110 ✔ ، 40 + 60 = 100 ✔

الجواب: أحمد 40 د، سامي 50 د، زياد 60 د.

الوضعية 5 مستوى متوسط (أعداد عشرية)

تبين مؤشرات وزن ثلاثة صناديق من الغلال (تفاح، برتقال، وموز) ما يلي:

• مجموع وزني صندوق التفاح والبرتقال: 45.5 كغ
• مجموع وزني صندوق البرتقال والموز: 52.2 كغ
• مجموع وزني صندوق التفاح والموز: 48.3 كغ

احسب الوزن الصافي لكل صندوق بشكل منفرد.

✅ الإصلاح الكامل للوضعية 5 (اضغط للعرض)

1) ضعف مجموع الأوزان الثلاثة:
45.5 + 52.2 + 48.3 = 146 كغ.

2) المجموع الحقيقي لأوزان الصناديق الثلاثة:
146 ÷ 2 = 73 كغ.

3) وزن صندوق الموز: 73 − 45.5 = 27.5 كغ.

4) وزن صندوق التفاح: 73 − 52.2 = 20.8 كغ.

5) وزن صندوق البرتقال: 73 − 48.3 = 24.7 كغ.

التثبت: 20.8 + 24.7 = 45.5 ✔ ، 24.7 + 27.5 = 52.2 ✔ ، 20.8 + 27.5 = 48.3 ✔

الجواب: التفاح 20.8 كغ، البرتقال 24.7 كغ، الموز 27.5 كغ.

الوضعية 6 مستوى متقدم (مركب مع نسبة)

ثلاثة شركاء ساهموا في رأس مال مشروع فلاحي. مجموع مساهمة الشريك الأول والثاني 18000 دينار، ومجموع مساهمة الثاني والثالث 22000 دينار، ومجموع مساهمة الأول والثالث 20000 دينار.
إذا كانت الأرباح السنوية للمشروع تمثل 15% من إجمالي رأس المال، أحسب القيمة المالية للأرباح الإجمالية، ثم حدد مساهمة كل شريك في رأس المال.

✅ الإصلاح الكامل للوضعية 6 (اضغط للعرض)

1) ضعف إجمالي رأس المال:
18000 + 22000 + 20000 = 60000 دينار.

2) رأس المال الإجمالي للمشروع:
60000 ÷ 2 = 30000 دينار.

3) الأرباح السنوية الإجمالية (15%):
30000 × (15 ÷ 100) = 4500 دينار.

4) مساهمة الشريك الثالث: 30000 − 18000 = 12000 دينار.

5) مساهمة الشريك الأول: 30000 − 22000 = 8000 دينار.

6) مساهمة الشريك الثاني: 30000 − 20000 = 10000 دينار.

التثبت: 8000 + 10000 + 12000 = 30000 ✔ ، 8000 + 10000 = 18000 ✔ ، 10000 + 12000 = 22000 ✔ ، 8000 + 12000 = 20000 ✔

الجواب: الأرباح = 4500 د؛ مساهمة الأول 8000 د، الثاني 10000 د، الثالث 12000 د.

4️⃣ الخلاصة

نوع الوضعية	الفكرة الأساسية	الوضعيات
مجموع وفارق	(المجموع − الفارق) ÷ 2 = الأصغر	1 و 2
مضاعفات	المجموع ÷ (k + 1) = قيمة الجزء	3
مجاميع ثنائية	المجموع الكلي = (مجموع المجاميع الثلاثة) ÷ 2	4 و 5 و 6

💡 نصائح: وحّد وحدات القياس قبل الحساب (دينار / مليم) — ارسم شريطاً يمثل الأجزاء — لا تنسَ التثبت من النتيجة في نهاية كل وضعية.